דלג לתוכן

מרכז למידה · כמותי

קיצורי דרך בגיאומטריה

אוסף טריקים ויזואליים ("קפנדריה") לפתרון מהיר של שאלות גיאומטריה בפסיכומטרי — יחסי שטחים, צורות חסומות וחסימות, ומצבים במרחב. לכל טריק ציור, נוסחה קצרה, והסבר בשורה אחת שאפשר לזכור בעל-פה.

חסכו זמן יקר בפרק הכמותי — בלי הוכחות ארוכות

סמנו כל קיצור דרך כ״למדתי״ (כחול) או ״שולט״ (ירוק) ועקבו אחרי הכיסוי שלכם.

התחברו כדי לשמור התקדמות

משולשים ומרובעים

קטע אמצעים במשולש

14S\frac{1}{4}\,S

חיבור אמצעי הצלעות יוצר 4 משולשים חופפים, כל אחד דומה למקורי ביחס 1:2 — ולכן שטחו רבע מהשטח הכולל.

לחצו להרחבהסימון

אלכסונים במלבן ובמקבילית

4×14S4 \times \tfrac{1}{4}S

שני האלכסונים מחלקים את המלבן או המקבילית ל-4 משולשים שווי שטח.

לחצו להרחבהסימון

שטח אפור = שטח לבן

12S\tfrac{1}{2}\,S

משולשים היושבים על בסיס המקבילית וקודקודם על הצלע הנגדית — שטחם הכולל שווה למחצית שטח המקבילית, בלי קשר לכמותם.

לחצו להרחבהסימון

משולשי האלכסונים בטרפז

S1=S2S_1 = S_2

בטרפז, שני המשולשים שנוצרים מהאלכסונים על השוקיים שווים בשטחם זה לזה.

לחצו להרחבהסימון

מעגלים וצורות חסומות

ריבוע חסום במעגל

a=r2a = r\sqrt{2}

צלע ריבוע החסום במעגל שווה לרדיוס כפול שורש 2 (האלכסון הוא הקוטר).

לחצו להרחבהסימון

ריבוע חוסם מעגל

a=2ra = 2r

צלע ריבוע החוסם מעגל שווה לקוטר, כלומר פעמיים הרדיוס.

לחצו להרחבהסימון

מעגל פנימי בריבוע

Sin=12SoutS_{\text{in}} = \tfrac{1}{2}\,S_{\text{out}}

יחס הרדיוסים בין המעגל החסום לחוסם הוא 1:√2, ולכן שטח המעגל הפנימי הוא בדיוק מחצית משטח המעגל החיצוני.

לחצו להרחבהסימון

משולש שווה-צלעות במעגל

ain=r3a_{\text{in}} = r\sqrt{3}

צלע משולש שווה-צלעות החסום במעגל שווה r√3, והחוסם 2r√3. יחס הצלעות 1:2 ולכן יחס השטחים 1:4.

לחצו להרחבהסימון

מלבן וטרפז חסומים במעגל

d=2rd = 2r

אלכסוני מלבן החסום במעגל הם קטרים; כל טרפז החסום במעגל הוא שווה-שוקיים.

לחצו להרחבהסימון

מעגלים משיקים על הקוטר

P=PiP = \textstyle\sum P_i

היקף המעגל החיצוני שווה לסכום היקפי כל המעגלים המשיקים על הקוטר. ככל שיש יותר מעגלים — שטחם הכולל קטֵן.

לחצו להרחבהסימון

מעגל שקוטרו רדיוס

14S\frac{1}{4}\,S

מעגל שקוטרו שווה לרדיוס של מעגל אחר — שטחו רבע משטח המעגל הגדול.

לחצו להרחבהסימון

זווית משיקים במעגלים זהים

6060^{\circ}

במעגלים זהים ומשיקים, הזווית בין שני ישרים היוצאים ממרכז אחד ומשיקים לשני היא 60°.

לחצו להרחבהסימון

מצולעים משוכללים

משושה = 6 משולשים

6×6 \times \triangle

משושה משוכלל מורכב מ-6 משולשים שווי-צלעות זהים היוצאים מהמרכז.

לחצו להרחבהסימון

גובה המשושה המשוכלל

h=a3h = a\sqrt{3}

הגובה (המרחק בין שתי צלעות נגדיות) במשושה משוכלל שווה לצלע כפול שורש 3.

לחצו להרחבהסימון

מעוין במחומש

\diamondsuit

במחומש משוכלל, העברת שני אלכסונים סמוכים יוצרת מעוין. הזווית בין אלכסונים סמוכים שווה לזווית המצולע.

לחצו להרחבהסימון

זוויות חיצוניות במצולע

θext=360\textstyle\sum \theta_{\text{ext}} = 360^{\circ}

סכום הזוויות החיצוניות של כל מצולע (משוכלל או לא) הוא תמיד 360°.

לחצו להרחבהסימון

גופים במרחב

אלכסון פנימי בקובייה

d=a3d = a\sqrt{3}

האלכסון הפנימי בקובייה שווה לצלע כפול שורש 3. טיפ לזכירה: בריבוע (דו-מימד) האלכסון a√2, ובקובייה (תלת-מימד) a√3.

לחצו להרחבהסימון

חרוטים חסומים בגליל

V=13VcylV = \tfrac{1}{3}\,V_{\text{cyl}}

סכום נפחי החרוטים החסומים בגליל (עם אותו בסיס וגובה) שווה לשליש מנפח הגליל — בלי קשר לכמות החרוטים.

לחצו להרחבהסימון

חצי עליון של חרוט

Vtop=18VV_{\text{top}} = \tfrac{1}{8}\,V

בחיתוך אופקי בדיוק בחצי הגובה: החרוט הקטן העליון הוא ⅛ מהנפח, והחלק התחתון (פרוסטום) הוא ⅞.

לחצו להרחבהסימון

שינוי רדיוס וגובה

kV=kr2khk_V = k_r^{2}\cdot k_h

כדי לדעת פי כמה משתנה הנפח: מעלים את שינוי הרדיוס בריבוע וכופלים בשינוי הגובה. לדוגמה רדיוס ×2 וגובה ×3 → נפח פי 12.

לחצו להרחבהסימון

שטח פנים בקובייה הונגרית

+0, +2, +4+0,\ +2,\ +4

הוצאת קובייה פינתית לא משנה את שטח הפנים; קוביית קצה מגדילה אותו ב-2 פאות; קובייה ממרכז פאה — ב-4 פאות.

לחצו להרחבהסימון

הטריקים נועדו לפתרון מהיר ולבדיקת סבירות. לנוסחאות המלאות והמדויקות עברו לדף הנוסחאות הרשמי. הצורות להמחשה בלבד ואינן משורטטות בקנה מידה.